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@@ -10,19 +10,31 @@ La limite entre le cas émergent et le cas submergé se situe à \(h = 1.1 \time
 
 ## Cas submergé
 
-Le calcul du débit se fait par itérations successives qui consistent à trouver la valeur de débit permettant d'obtenir l'égalite entre la vitesse moyenne du lit donnée par :
+Le calcul se fait en intégrant le profil de vitesse dans et au-dessus des macrorugosités.
+Les vitesses calculées sont les moyennes temporelles et spatiales par plan parallèle au fond.
+
+Dans les macrorugosités, les vitesses sont obtenues par la double moyenne des équations de Navier-Stokes en régime uniforme avec un modèle de longueur de mélange pour la turbulence.
+
+Au dessus des macrorugosités, l'analyse classique de couche limite turbulente est maintenue.
+Le profil de vitesse est continu au sommet des macrorugosités et ce dernier dépend des conditions aux limites fixées par l'hydraulique :
+
+- vitesse au fond (sans turbulence) en m/s :
 
 $$u_0 = \sqrt{2 g S D (1 - \sigma C)/(C_d C)}$$
 
-et la vitesse moyenne du lit donnée par intégration des débits entre et au-dessus des blocs :
+- contrainte de cisaillement totale au sommet des rugosités en m/s :
+
+$$u_* = \sqrt{gS(h-k)}$$
 
-$$\bar{u} = \frac{Q_{inf} + Q_{sup}}{k}$$
+La vitesse moyenne du lit est donnée par intégration des débits entre et au-dessus des blocs :
+
+$$\bar{u} = \frac{Q_{inf} + Q_{sup}}{h}$$
 
 avec respectivement \(Q_{inf}\) et \(Q_{sup}\) les débits unitaires pour la partie dans la canopée et la partie au dessus de la canopée.
 
 ### Calcul du débit unitaire *Q<sub>inf</sub>* dans la canopée
 
-Le débit dans la canopée est obtenu par intégration du profil de vitesse (Eq. 9, Cassan et al., 2016)&nbsp:
+Le débit dans la canopée est obtenu par intégration du profil de vitesse (Eq. 9, Cassan et al., 2016)&nbsp;:
 
 $$Q_{inf} = \int_{0}^1 u(\tilde{z}) d \tilde{z}$$
 
@@ -34,7 +46,7 @@ avec
 
 $$\beta = \sqrt{(k / \alpha_t)(C_d C k / D)/(1 - \sigma C)}$$
 
-avec \(\sigma = 1\) pour \(C_{d0} = 2\), \(\sigma = \pi/4\) sinon
+avec \(\sigma = 1\) pour \(C_{d0} = 2\) (blocs carrés), \(\sigma = \pi/4\) sinon (blocs circulaires)
 
 et \(\alpha_t\) obtenu à partir de la résolution de l'équation suivante :
 
@@ -54,7 +66,7 @@ $$Q_{sup} = \int_k^h u(z) dz$$
 
 avec (Eq. 12, Cassan et al., 2016)
 
-$$u(z) = \frac{u_*}{\kappa} \ln \left( \frac{z - d}{z_0} \right) - 1 $$
+$$u(z) = \frac{u_*}{\kappa} \ln \left( \frac{z - d}{z_0} \right)$$
 
 avec (Eq. 14, Cassan et al., 2016)
 
@@ -70,7 +82,7 @@ $$Q_{sup} = \frac{u_*}{\kappa} \left( (h - d) \left( \ln \left( \frac{h-d}{z_0}
 
 ## Cas émergent
 
-Le calcul du débit se fait par itérations successives qui consistent à trouver la valeur de débit permettant d'obtenir l'égalité entre la vitesse apparente \(V\) et la vitesse moyenne du lit donnée par&nbsp;:
+Le calcul du débit se fait par itérations successives qui consistent à trouver la valeur de débit permettant d'obtenir l'égalité entre la vitesse débitante \(V\) et la vitesse moyenne du lit donnée par l'équilibre des forces de frottements (fond + traînée) avec la gravité&nbsp;:
 
 $$u_0 = \sqrt{\frac{2 g S D (1 - \sigma C)}{C_d C (1 + N)}}$$
 
@@ -90,7 +102,7 @@ $$\alpha = 1 - (a_y / a_x \times C)$$
 
 $$V = \frac{Q}{B \times h}$$
 
-### Vitesse entre les blocs *V<sub>g</sub>*
+### Vitesse moyenne entre les blocs *V<sub>g</sub>*
 
 $$V_g = \frac{V}{1 - \sqrt{(a_x/a_y)C}}$$
 
@@ -102,15 +114,17 @@ $$F = \frac{V_g}{\sqrt{gh}}$$
 
 Si \(F < 1.3\) (Eq. 5, Cassan et al., 2016)
 
-$$f_F(F) = \mathrm{min} \left( \frac{0.4 C_{d0} + 0.7}{1- (F^2 / 4)}, \frac{1}{F^{\frac{2}{3}}} \right)$$
+$$f_F(F) = \mathrm{min} \left( \frac{0.4 C_{d0} + 0.7}{1- (F^2 / 4)}, \frac{1}{F^{\frac{2}{3}}} \right)^2$$
 
 sinon
 
 $$f_F(F) = F^{\frac{-4}{3}}$$
 
+(La distinction est uniquement numérique car \(1- (F^2 / 4)\) est non défini pour \(F > 2\))
+
 ### Coefficient de friction du lit *C<inf>f</inf>*
 
-Si \(k_s < 10^{-6} \mathrm{m}\) alors
+Si \(k_s < 10^{-6} \mathrm{m}\) alors on utilise la formule de Blasius
 
 $$C_f = 0.3164 / 4 * Re^{-0.25}$$
 
@@ -118,13 +132,10 @@ avec
 
 $$Re = u_0 \times h / \nu$$
 
-Sinon (Eq. 3, Cassan et al., 2016)
+Sinon (Eq. 3, Cassan et al., 2016 d'après Rice et al., 1998)
 
 $$C_f = \frac{2}{(5.1 \mathrm{log} (h/k_s)+6)^2}$$
 
-### Vitesse de cisaillement *u<sub>&ast;</sub>*
-
-$$u_* = \sqrt{gS(h-k)}$$
 
 ## Notations
 

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