Commit d483aa07 authored by Ludovic Mailleret's avatar Ludovic Mailleret
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......@@ -106,9 +106,9 @@ Le reste de la séance vous laissera une plus grande part d'improvisation, l'ess
### Modèle de Malthus
Le modèle de Malthus, ou à croissance exponentielle, s'écrit pour une population de densité $`x`$ comme nous l'avons vu en cours :
~~~math
```math
\dot x = (n-m)\ x
~~~
```
avec $`n`$ et $`m`$ les taux de natalité et de mortalité, respectivement.
#### Paramétrisation
......@@ -320,9 +320,9 @@ L'idée est ici de reprendre l'étude faite en cours en simulant une pêcherie d
Nous simulerons notamment l'effet de la durée de la période de surpêche sur la survie du stock, et illustrerons ces résultats avec des figures représentant la densité de population en fonction du temps, et la densité de population en fonction de l'effort de pêche.
Pour rappel, le modèle s'écrit :
~~~math
```math
\dot x = rx\left(\frac{x}{K_a}-1\right)\left(1-\frac{x}{K}\right) - E x
~~~
```
***
......@@ -390,9 +390,9 @@ Un aperçu des résultats attendus et le cas échéant quelques aides à l'écri
### Tordeuse du bourgeon de l'épinette
Nous reprenons l'étude faite en cours sur le modèle de la tordeuse du bourgeon de l'épinette [(Ludwig, Jones et Holling, 1978)](https://jmahaffy.sdsu.edu/courses/f09/math636/lectures/bifurcation_ode/ludwig_ecology_78.pdf). Le modèle que nous allons étudier ici est légèrement différent de celui vu en cours, car nous allons expliciter la population d'oiseaux prédateurs. Avec $`x`$ la densité de tordeuses et $`y`$ la densité d'oiseaux, le modèle s'écrit :
~~~math
```math
\dot x =rx\left(1-\frac{x}{K}\right) - \frac{\alpha x^2}{h^2+x^2}\ y
~~~
```
$`\alpha`$ est le nombre maximal de chenilles que les oiseaux peuvent consommer *per capita* ; les autres paramètres ont été vus en cours.
......@@ -420,14 +420,14 @@ Le tracé du diagramme de bifurcation se fait par une méthode très similaire a
Lorsque l'on prend en compte que la taille de la population d'oiseaux varie au cours du temps en fonction des captures, le modèle est directement en 2 dimensions. En supposant que la dynamique des oiseaux est lente par rapport à celle des insectes, on peut cependant déduire le comportement en projetant la dynamique des tordeuses à l'équilibre et en étudiant la dynamique résultante sur les oiseaux (approche dite "lent-rapide"). Comme ici, selon la taille de la population d'oiseaux, différents équilibres peuvent exister et être globalement stable, cela va donner un lieu a un comportement dynamique intéressant que l'on pourra entièrement appréhender sur le diagramme de bifurcation tracé précédemment.
Le modèle prend maintenant la forme :
~~~math
```math
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \dot x = rx\left(1-\frac{x}{K}\right) - \frac{\alpha x^2}{h^2+x^2}\ y \\[.2cm]
\displaystyle \dot y = \varepsilon \left(\frac{n \alpha x^2}{h^2+x^2}\ y -m y\right)
\end{array}
\right.
~~~
```
avec $`0<\varepsilon\ll 1`$, et $`n`$ et $`m`$ les taux associés à la natalité et à la mortalité des prédateurs. En pratique fixons $`\varepsilon=0.01`$, et les paramètres $`n=3`$ et $`m=5`$.
La seule difficulté ici est qu'il ne s'agit plus d'intégrer une équation différentielle de dimension 1, mais un système de deux équations différentielles.
......@@ -457,12 +457,12 @@ Vous pouvez vous rapporter à la page de [corrections](./biomaths_mam4_tordeuse.
Nous considérons le modèle de dynamique de populations (classique) de Lotka et Volterra.
~~~math
```math
\left\{\begin{array}{l}
\dot x = rx - c xy\\
\dot y = bxy - m y
\end{array}\right.
~~~
```
Nous allons simuler ce modèle pour $`r=1, c=1, b=1, m=1`$, représenter les dynamiques de populations en fonction du temps et dans le plan de phase $`(x,y)`$. Cette partie est calquée sur ce que nous avons fait précédemment pour le modèle de tordeuse avec population d'oiseaux variable.
......@@ -504,9 +504,9 @@ ax2.streamplot(X, Y, dx, dy, density = 0.4, maxlength = 0.25, color = "purple")
#### Intégrale première
Finalement, nous représentons l'intégrale première (quantité conservée au cours du temps dans ce système) en fonction du temps, puis dans un graphique en 3D en fonction de $x$ et de $y$, ainsi qu'une trajectoire du système dans cet espace. La quantité conservée au cours du temps dans le modèle de Lotka Volterra est la suivante:
~~~math
```math
H(x,y) = b\ x-m\ln(x) + c\ y- r\ln(y)
~~~
```
Nous commençons par définir cette fonction, ce qui devrait être assez direct:
```python
......@@ -585,12 +585,12 @@ display(fig4)
### Le modèle proies-prédateurs de Rosenzweig-MacArthur
Nous considérons le modèle de dynamique de populations attribué à Rosenzweig et MacArthur (voir [Rosenzweig & MacArthur (1963)](http://www.jstor.com/stable/2458702), [Turchin (2003)](http://www.jstor.com/stable/2458702), [Smith (2008)](https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.710.95&rep=rep1&type=pdf)).
~~~math
```math
\left\{\begin{array}{l}
\dot x = \displaystyle rx\left(1-\frac{x}{K}\right) - c \frac{x}{h+x} y\\
\dot y = b\displaystyle \frac{x}{h+x} y - m y
\end{array}\right.
~~~
```
avec $`x`$ et $`y`$ les densités de proies et prédateurs, respectivement.
......@@ -600,9 +600,9 @@ avec $`x`$ et $`y`$ les densités de proies et prédateurs, respectivement.
La simulation et la représentation graphique est vraiment dans la droite ligne de ce qui a été fait plus haut pour le modèle de Lotka Volterra.
On prendra comme valeurs de paramètres :
~~~math
```math
r=1,\ K=10,\ c= 1,\ h=2,\ b=2,\ m=1.
~~~
```
Pour ces valeurs, il existe un cycle limite attractif. Vous pouvez diminuer $`K`$ pour voir l'effondrement du cycle en un équilibre positif asymptotiquement stable, voire l'extinction des prédateurs.
......
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