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add 2018 exam and its correction

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......@@ -150,7 +150,7 @@ Soit le probl
Le graphe a pour variable les examens.
Chaque étudiant définit une clique d'examens incompatibles.
Le nombre minimum de créneaux correspond au nombre chromatique, ici 3.
La recherche de cliques maximales dans un graphe est un problème NP-difficile. Par contre, énumérer les cliques associées à chaque étudiant se fait en temps linéaire en nombre d'étudiants $m$, \ie en $O(m)$. L'algorithme DSATUR fournit un majorant aussi en temps polynomial en $O(n^2)$.
La recherche de cliques maximales dans un graphe est un problème NP-difficile. Par contre, énumérer les cliques associées à chaque étudiant se fait en temps linéaire en nombre d'étudiants $m$, {\em i.e.}, en $O(m)$. L'algorithme DSATUR fournit un majorant aussi en temps polynomial en $O(n^2)$.
}
\section{Complexité}
......@@ -187,7 +187,7 @@ Boeing envisage de construire un 5
\Correction{$\min \sum_v C_v z_v + \sum_{u,v} c_{uv} f_{uv}$ avec comme contraintes $\forall u \in \{1,\ldots,N\}, \sum_v f_{uv} = A_u$, $\forall v \in \{1,\ldots,N\}, \sum_u f_{uv} \leq P \times z_v$, $f_{uv}>=0$, $z_v \in \{0,1\}$, où $z_v=1$ correspond à créer un centre de service dans l'aéroport $v$, $C_v$ correspond à son coût de création (suivant la zone géographique) et $f_{uv}$ le nombre d'avions de l'aéroport $u$ qui seront maintenus dans le centre $v$.}
On suppose maintenant que tous les avions d'un aéroport doivent aller dans le même centre sans limite de capacité. Donner un modèle PLNE puis un modèle graphique équivalent.
\Correction{$\min \sum_v C_v z_v + \sum_{u,v} A_u c_{uv} f_{uv}$ avec comme contraintes $\forall u \in \{1,\ldots,N\}, \sum_v f_{uv} = 1$, $\forall v \in \{1,\ldots,N\}, \sum_u f_{uv} \leq N \times z_v$, $f_{uv} \in \{0,1\}, $z_v \in \{0,1\}$.
\Correction{$\min \sum_v C_v z_v + \sum_{u,v} A_u c_{uv} f_{uv}$ avec comme contraintes $\forall u \in \{1,\ldots,N\}, \sum_v f_{uv} = 1$, $\forall v \in \{1,\ldots,N\}, \sum_u f_{uv} \leq N \times z_v$, $f_{uv} \in \{0,1\}$, $z_v \in \{0,1\}$.
On définit un modèle graphique équivalent avec des variables $y_u$ ayant pour domaine $\{1,\ldots,N\}$ indiquant dans quel centre vont les avions de l'aéroport $u$ et $z_v$ ayant pour domaine $\{0,1\}$ indiquant si un centre de service est créé dans l'aéroport $v$. On minimise alors la somme des fonctions $g$, $h$ et $c$~: $\min_{y_u,z_v} \sum_{u} g(y_u) + \sum_v h(z_v) + \sum_{u,v} c(y_u,z_v)$ avec $g(y_u=v) = A_u c_{uv}$, $h(z_v=0)=0$, $h(z_v=1)=C_v$ et les contraintes $c$ qui retournent un coût nul sauf pour $c(y_u=v,z_v=0)=+\infty$.}
\end{document}
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