Chaque étudiant définit une clique d'examens incompatibles.
Le nombre minimum de créneaux correspond au nombre chromatique, ici 3.
La recherche de cliques maximales dans un graphe est un problème NP-difficile. Par contre, énumérer les cliques associées à chaque étudiant se fait en temps linéaire en nombre d'étudiants $m$, \ie en $O(m)$. L'algorithme DSATUR fournit un majorant aussi en temps polynomial en $O(n^2)$.
La recherche de cliques maximales dans un graphe est un problème NP-difficile. Par contre, énumérer les cliques associées à chaque étudiant se fait en temps linéaire en nombre d'étudiants $m$, {\em i.e.}, en $O(m)$. L'algorithme DSATUR fournit un majorant aussi en temps polynomial en $O(n^2)$.
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\section{Complexité}
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@@ -187,7 +187,7 @@ Boeing envisage de construire un 5
\Correction{$\min\sum_v C_v z_v +\sum_{u,v} c_{uv} f_{uv}$ avec comme contraintes $\forall u \in\{1,\ldots,N\}, \sum_v f_{uv}= A_u$, $\forall v \in\{1,\ldots,N\}, \sum_u f_{uv}\leq P \times z_v$, $f_{uv}>=0$, $z_v \in\{0,1\}$, où $z_v=1$ correspond à créer un centre de service dans l'aéroport $v$, $C_v$ correspond à son coût de création (suivant la zone géographique) et $f_{uv}$ le nombre d'avions de l'aéroport $u$ qui seront maintenus dans le centre $v$.}
On suppose maintenant que tous les avions d'un aéroport doivent aller dans le même centre sans limite de capacité. Donner un modèle PLNE puis un modèle graphique équivalent.
\Correction{$\min\sum_v C_v z_v +\sum_{u,v} A_u c_{uv} f_{uv}$ avec comme contraintes $\forall u \in\{1,\ldots,N\}, \sum_v f_{uv}=1$, $\forall v \in\{1,\ldots,N\}, \sum_u f_{uv}\leq N \times z_v$, $f_{uv}\in\{0,1\}, $z_v \in\{0,1\}$.
\Correction{$\min\sum_v C_v z_v +\sum_{u,v} A_u c_{uv} f_{uv}$ avec comme contraintes $\forall u \in\{1,\ldots,N\}, \sum_v f_{uv}=1$, $\forall v \in\{1,\ldots,N\}, \sum_u f_{uv}\leq N \times z_v$, $f_{uv}\in\{0,1\}$, $z_v \in\{0,1\}$.
On définit un modèle graphique équivalent avec des variables $y_u$ ayant pour domaine $\{1,\ldots,N\}$ indiquant dans quel centre vont les avions de l'aéroport $u$ et $z_v$ ayant pour domaine $\{0,1\}$ indiquant si un centre de service est créé dans l'aéroport $v$. On minimise alors la somme des fonctions $g$, $h$ et $c$~: $\min_{y_u,z_v}\sum_{u} g(y_u)+\sum_v h(z_v)+\sum_{u,v} c(y_u,z_v)$ avec $g(y_u=v)= A_u c_{uv}$, $h(z_v=0)=0$, $h(z_v=1)=C_v$ et les contraintes $c$ qui retournent un coût nul sauf pour $c(y_u=v,z_v=0)=+\infty$.}
