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index cb2b6085e292cb568ddd423d224033ee9ccd6e0f..07d0eb1fcb39d1c431cc51fc0d6dbbcdcc69b738 100644
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@@ -126,13 +126,17 @@ $$V_g = \frac{V}{1 - \sqrt{(a_x/a_y)C}}$$
\(C_{d0}\) is the drag coefficient of a block considering a single block
infinitely high with \(F << 1\) (Cassan et al, 2014[^2]).
-It is 1 for a circular block and 2 for a flat-faced block.
-The modifications made to \(f_{h_*}(h_*)\) in version 4.14.0 of Cassiopée lead to the use of a drag coefficient \(C_x\) calibrated on the results of the experiments for the calculation of \(C_d\):
+| Block shape | Cylinder | "Rounded face" shape | Square-based parallelepiped | "Flat face" shape |
+|:------------|:--------:|:--------------------:|:-----------------------:|:--------------------:|
+| |  |  |  |  |
+| Value of \(C_{d0}\) | 1.0 | 1.2-1.3 | 2.0 | 2.2 |
-$$ C_x = C_{d0}* 1.4917 -0.3914 $$
+When establishing the statistical formulae for the 2006 technical guide (Larinier et al. 2006[^4]), the definition of the block shapes to be tested was based on the use of quarry blocks with neither completely round nor completely square faces.
+The so-called "rounded face" shape was thus not completely cylindrical, but had a trapezoidal bottom face (seen in plan).
+Similarly, the "flat face" shape was not square in cross-section, but also had a trapezoidal bottom face.
+These differences in shape between the "rounded face" and a true cylinder on the one hand, and the "flat face" and a true parallelepiped with a square base on the other hand, result in slight differences between them in the shape coefficients \(C_{d0}\).
-We have \(C_{x} = 1.1003\) for \(C_{d0}=1\) and \(C_{x} = 2.592\) for \(C_{d0}=2\).
### Block shape coefficient *σ*
@@ -142,9 +146,14 @@ For the cylindrical form of the blocks, \(\sigma\) is equal to \(\pi / 4\) and f
### Ratio between the average speed downstream of a block and the maximum speed *r*
-The value of this ratio is (\(r=1.1\)) for cylindrical blocks (Tran et al. 2016 [^3]), and (\(r=1.5\)) for flat-faced blocks (Cassan et al. (2014)[^2], Table 2).
+The values of (\r\) depends on the block shapes (Cassan et al., 2014[^2] et Tran et al. 2016 [^3]):
-The formula used in Cassiopée allows to take into account shapes of intermediate blocks between circular and square shapes from the values of \(C_{d0} = 1.1\) for cylindrical blocks and \(C_{d0} = 2.6\) for blocks with flat faces:
+- round : \(r_Q=1.1\)
+- "rounded face" shape : \(r=1.2\)
+- square-based parallelepiped : \(r=1.5\)
+- "flat face" shape : \(r=1.6\)
+
+Cassiopée implements a formula depending on \(C{d0}\):
$$ r = 0.4 C_{d0} + 0.7 $$
@@ -154,33 +163,24 @@ $$F = \frac{V_g}{\sqrt{gh}}$$
### Froude-related drag coefficient correction function *f<sub>F</sub>(F)*
-If \(F < 1.3\) (Eq. 5, Cassan et al., 2016)
-
-$$f_F(F) = \mathrm{min} \left( \frac{\sigma}{1- (F^2 / 4)}, \frac{1}{F^{\frac{2}{3}}} \right)^2$$
+If \(F < 1\) (Eq. 19, Cassan et al., 2014[^2]):
-else (The distinction is only numerical because \(1- (F^2 / 4)\) is not defined for \(F > 2\))
+$$f_F(F) = \min \left( \frac{r}{1- \frac{F_{g}^{2}}{4}}, \frac{1}{F^{\frac{2}{3}}} \right)^2$$
-$$f_F(F) = F^{\frac{-4}{3}}$$
+otherwise \(f_F(F) = 1\) because a torrential flow upstream of the blocks is theoretically impossible because of the hydraulic jump caused by the downstream block.
### Maximum speed *u<sub>max</sub>*
According to equation 19 of Cassan et al, 2014[^2] :
-$$ f_F(F) = \left( \dfrac{U_d}{V_g} \right)^2 $$
-
-And equation 4:
-
-$$ \frac{u_{max}}{V_g} = r \dfrac{u_d}{V_g} $$
-
-It is deduced that :
-
-$$ u_{max} = V_g r \sqrt{f_F(F)} $$
+$$ u_{max} = V_g \sqrt{f_F(F)} $$
### Drag coefficient correction function linked to relative depth *f<sub>h\*</sub>(h<sub>\*</sub>)*
-The equation used in Cassiopeia differs slightly from Equation 20 of Cassan et al. 2014 [^2] and Equation 6 of Cassan et al. 2016 [^1]. Indeed, recent experiments have shown a better correlation with the following formula :
+The equation used in Cassiopeia differs slightly from equation 20 of Cassan et al. 2014[^2] and equation 6 of Cassan et al. 2016[^1].
+This formula is a fit to the experimental measurements on circular blocks used in Cassan et al. 2016[^1]:
-$$ f_{h_*}(h_*) = \min \left((1 + 1 / h_*^2), 3 \right) $$
+$$ f_{h_*}(h_*) = (1 + 1 / h_*^{2}) $$
### Coefficient of friction of the bed *C<inf>f</inf>*
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index a2ced9023d7ba3fe85b855e54d17ef4cf9f7e32c..07a067454861084e71747bb04700e22290b214cf 100644
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@@ -98,11 +98,11 @@ $$Q_{sup} = \frac{u_*}{\kappa} \left( (h - d) \left( \ln \left( \frac{h-d}{z_0}
Le calcul du débit se fait par itérations successives qui consistent à trouver la valeur de débit permettant d'obtenir l'égalité entre la vitesse débitante \(V\) et la vitesse moyenne du lit donnée par l'équilibre des forces de frottements (fond + traînée) avec la gravité :
-$$u_0 = \sqrt{\frac{2 g S D (1 - \sigma C)}{C_d f_F(F, r_Q) C (1 + N)}}$$
+$$u_0 = \sqrt{\frac{2 g S D (1 - \sigma C)}{C_d f_F(F) C (1 + N)}}$$
avec
-$$N = \frac{\alpha C_f}{C_d f_F(F, r_Q) C h_*}$$
+$$N = \frac{\alpha C_f}{C_d f_F(F) C h_*}$$
avec
@@ -125,49 +125,32 @@ $$V_g = \frac{V}{1 - \sqrt{(a_x/a_y)C}}$$
\(C_{d0}\) est le coefficient de trainée théorique d'un bloc de hauteur infinie pour un Froude \(F << 1\) (Cassan et al, 2014[^2]).
| Forme du bloc | Cylindre | Forme "face arrondie" | Parallélépipède à base carré | Forme "face plate" |
-|---------------|----------|-----------------------|------------------------------|--------------------|
-| |  |  |  |  |
-| Valeur de \(C_{d0}\) | 1.0 | 1.5 | 2.0 | 2.3 |
+|:--------------|:--------:|:---------------------:|:----------------------------:|:------------------:|
+| |  |  |  |  |
+| Valeur de \(C_{d0}\) | 1.0 | 1.2-1.3 | 2.0 | 2.2 |
Lors de l'établissement des formules statistiques du guide technique de 2006 (Larinier et al. 2006[^4]), la définition des formes de blocs à tester a été établie dans la perspective de l'utilisation de blocs de carrière à faces ni complètement rondes, ni complètement carrées.
La forme dite à « face arrondie » n'était ainsi pas complètement cylindrique, mais présentait une face aval trapézoïdale (vue en plan).
De même, la forme dite à « face plane » ne présentait pas une section carrée, mais également une face aval trapézoïdale.
-Ces différences de forme entre la « face arrondie » et un véritable cylindre d’une part, et la « face plate » et un véritable parallélépipède à base carrée d’autre part, se traduisent par de légères différences entre celles-ci sur les coefficients de forme Cd0. Ces coefficients ont été recalés dans Cassiopée v4.14.2 pour correspondre aux données des expériences utilisées dans le guide technique de 2006.
+Ces différences de forme entre la « face arrondie » et un véritable cylindre d’une part, et la « face plate » et un véritable parallélépipède à base carrée d’autre part, se traduisent par de légères différences entre celles-ci sur les coefficients de forme \(C_{d0}\).
### Coefficient de forme de bloc *σ*
Cassan et al. (2014)[^2], et Cassan et al. (2016)[^1] définit \(\sigma\) comme le ratio entre l'aire du bloc vu du dessus et \(D^2\).
On a donc \(\sigma = \pi / 4\) pour un bloc circulaire et \(\sigma = 1\) pour un bloc carré.
-### Ratio entre la vitesse moyenne à l'aval d'un block et la vitesse maximale et *r<sub>v</sub>*
+### Rapport entre la vitesse moyenne à l'aval d'un bloc et la vitesse max *r*
-Les ajustements sur les expériences et simulations (résultats non publiés) donnent :
+Les valeurs de \(r\) dépendent de la forme des blocs (Cassan et al., 2014[^2] et Tran et al. 2016 [^3]) :
-- rond : \(r_v=1.2\)
-- face arrondie : \(r_v=1.3\)
-- carré : \(r_v=1.4\)
-- face plate : \(r_v=1.45\)
+- rond : \(r=1.1\)
+- face arrondie : \(r=1.2\)
+- carré : \(r=1.5\)
+- face plate : \(r=1.6\)
-Soit :
+Cassiopée propose une formule de calcul en fonction de \(C{d0}\) :
-$$ r_v = 0.2 C_{d0} + 1 $$
-
-### Ratio *r<sub>Q</sub>* pour le calcul de \(C_d\)
-
-Dans Cassan et al. (2014)[^2], on supposait $r_v=r_Q$. Les dernières expériences montrent que \(r_Q\) est différent de \(r_v\) mais évolue dans le même sens.
-
-\(r_Q\) est un paramètre dépendant de la forme. Il peut être vu comme une perte de charge supplémentaire (par rapport à un cas 2D) due aux vitesses verticales et à l'interaction du jet plongeant avec l'obstacle (on remarque sur les simulations une forte dissipation d'énergie sur les faces latérales des carrés, absentes pour les ronds).
-
-Un ajustement sur les expériences donne:
-
-- rond : \(r_Q=1.12\)
-- face arrondie : \(r_Q=1.17\)
-- carré : \(r_Q=1.21\)
-- face plate : \(r_Q=1.24\)
-
-Soit :
-
-$$ r_Q = 0.091 C_{d0} + 1.033 $$
+$$ r = 0.4 C_{d0} + 0.7 $$
### Froude *F*
@@ -175,34 +158,26 @@ $$F = \frac{V_g}{\sqrt{gh}}$$
### Fonction de correction du coefficient de trainée liée au Froude *f<sub>F</sub>(F,r)*
-Si \(F < 1\) (Eq. 19, Cassan et al., 2014[^2]):
+Si \(F < 1\) (Eq. 19, Cassan et al., 2014[^2]) :
-$$f_F(F,r) = \min \left( \frac{r}{1- \frac{F_{g}^{2}}{4}}, \frac{1}{F^{\frac{2}{3}}} \right)^2$$
+$$f_F(F) = \min \left( \frac{r}{1- \frac{F_{g}^{2}}{4}}, \frac{1}{F^{\frac{2}{3}}} \right)^2$$
sinon \(f_F(F) = 1\) car un écoulement torrentiel à l'amont des blocs est théoriquement impossible à cause du ressaut hydraulic provoqué par le bloc aval.
-\(r = r_Q\) pour le calcul de \(C_d\) et \(r = r_v\) pour le calcul de \(V_{max}\).
-
### Vitesse maximale *u<sub>max</sub>*
D'après l'équation 19 de Cassan et al., 2014[^2] :
-Pour le cas Fluvial \(F < 1\) :
-
-$$ u_{max} = V_g f_F(F,r_v) $$
-
-Pour le cas torrentiel :
-
-$$u_{max} = V_g $$
-Avec \(u_c\) la vitesse critique basée sur l'écoulement entre bloc car on suppose que la hauteur à l'aval des blocs est proche de la hauteur critique à cause du ressaut imposé par le bloc aval.
+$$ u_{max} = V_g \sqrt{f_F(F)} $$
### Fonction de correction du coefficient de trainée lié à la profondeur relative *f<sub>h\*</sub>(h<sub>\*</sub>)*
-Depuis la version 4.14.0 de Cassiopée, l'équation utilisée dans Cassiopée diffère légèrement de l'équation 20 de Cassan et al. 2014[^2] et l'équation 6 de Cassan et al. 2016[^1]. En effet, les récentes expériences ont montré une meilleure corrélation avec la formule suivante :
+L'équation utilisée dans Cassiopée diffère légèrement de l'équation 20 de Cassan et al. 2014[^2] et l'équation 6 de Cassan et al. 2016[^1].
+Cette formule est un ajustement sur les mesures expérimentales sur les blocs circulaires utilisées dans de Cassan et al. 2016[^1] :
-$$ f_{h_*}(h_*) = \min \left((1 + 0.8 / h_*^{1.5}), 3 \right) $$
+$$ f_{h_*}(h_*) = (1 + 1 / h_*^{2}) $$
### Coefficient de friction du lit *C<inf>f</inf>*
diff --git a/jalhyd_branch b/jalhyd_branch
index 1f7391f92b6a3792204e07e99f71f643cc35e7e1..100a5e5ea638b6780030522d3ab0bf6cda015736 100644
--- a/jalhyd_branch
+++ b/jalhyd_branch
@@ -1 +1 @@
-master
+297-macrorugo-back-to-v4-13-1-formulas